暗記しなくてよい三角関数の公式

教科書や参考書の三角比・三角関数の単元を学習していて「こんなにたくさんの公式、覚えられない！」と感じたことがある人も多いのではないでしょうか。

余角（${90}^{\circ }–\theta$）、補角（${180}^{\circ }–\theta$）の公式をはじめ、負角（$-\theta$）、2倍角（$2\theta$）、3倍角（$3\theta$）……。

さらには$\theta +{90}^{\circ }$型や$\theta +{180}^{\circ }$型の公式もありますよね。

ほとんどの高校生や受験生にとっては頭を抱えてしまうような量です。

しかし、結論としてはこれらの多くの公式を覚える必要はありません。

これらの公式は、三角関数の加法定理からすべて導くことができるのです。

覚えなくてもよい公式

加法定理から導出することができる公式を紹介しておきます。

これらの公式は無理に覚える必要はありません。

これらを一つひとつ暗記するのは、正直なところとても難しいです。

そして実際、私もほとんど覚えていませんでした。

それは、これらの公式がすべて「三角関数の加法定理」から導出できるからです。

覚えておきたい公式：加法定理

三角関数で覚えておきたい公式は「加法定理」です。

これさえ知っていれば、先ほど紹介した多数の公式を導くことができます。

この3つの公式を覚えておけば、余角（${90}^{\circ }–\theta$）や倍角、3倍角など、たくさんの公式をすぐに導き出すことができるのです。

では、実際に試してみましょう。

加法定理から公式を導いてみる

余角・補角の公式の導出

余角（${90}^{\circ }–\theta$）、補角（${180}^{\circ }–\theta$）の公式は、加法定理を用いて簡単に導くことが可能です。

例として$\cos ({90}^{\circ }–\theta )$について考えましょう。

三角関数の加法定理$\cos (\alpha –\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$に$\alpha ={90}^{\circ }$、$\beta =\theta$を代入するだけです。

$$\begin{array}{rl}\cos ({90}^{\circ }–\theta )& =\cos {90}^{\circ }\cos \theta +\sin {90}^{\circ }\sin \theta \\ & =0\cdot \cos \theta +1\cdot \sin \theta \\ & =\sin \theta \end{array}$$

このように、加法定理だけ使って$\cos$の余角（${90}^{\circ }–\theta$）の公式を導出することができました（ただし、$\sin {90}^{\circ }=1$、$\cos {90}^{\circ }=0$であることを用いました）。

$\sin$や$\tan$、補角（${180}^{\circ }–\theta$）の公式でも同様です。

負角の公式の導出

$\sin (-\theta )$や$\cos (-\theta )$、$\tan (-\theta )$などの負角（$-\theta$）の公式も、加法定理を用いることによって導出することができます。

ここでは$\tan (-\theta )$を例に挙げます。

加法定理を適用できる形にするため、$-\theta$を$0^{\circ }–\theta$と変形し、次のようにします。

$$\tan (-\theta )=\tan (0^{\circ }–\theta )$$

$\tan$の加法定理をおさらいしておきます。

$$\tan (\alpha –\beta )=\frac{\tan \alpha –\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$$

この$\tan$の加法定理に$\alpha =0^{\circ }$、$\beta =\theta$を代入します。

$$\begin{array}{rl}\tan (-\theta )& =\frac{\tan 0^{\circ }–\tan \theta }{1+\tan 0^{\circ }\tan \theta }\\ & =\frac{0–\tan \theta }{1+0\cdot \tan \theta }\\ & =\frac{-\tan \theta }{1}\\ & =-\tan \theta \end{array}$$

以上のように、$\tan$の負角（$-\theta$）の公式を導き出すことができました（ただし、$\tan 0^{\circ }=0$であることを用いました）。

$\sin$や$\cos$の負角（$-\theta$）の公式も同じ要領で導くことが可能です。

ややトリッキーでしたが、$-\theta$を$0^{\circ }–\theta$と変形するのがミソでした。

2倍角の公式の導出

2倍角の公式は、加法定理から簡単に導くことができます。

たとえば$\sin 2\theta$を考えてみましょう。

ただ、このままの形では加法定理を使うことができません。

しかし、次のように見方を変えることで加法定理を使うことができるようになります。

$$\sin 2\theta =\sin (\theta +\theta )$$

このように$2\theta$を$\theta +\theta$という形に分けることで、加法定理を適用できるようになります。

三角関数の加法定理$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$に、$\alpha =\theta$、$\beta =\theta$を代入してみましょう。

$$\begin{array}{rl}\sin 2\theta & =\sin (\theta +\theta )\\ & =\sin \theta \cos \theta +\cos \theta \sin \theta \\ & =2\sin \theta \cos \theta \end{array}$$

以上のように、$\sin$の2倍角の公式を導出することができました。

$\cos$、$\tan$の2倍角の公式も同じ要領で導出することができます。

$2\theta =\theta +\theta$と見方を変えることがポイントでした。

3倍角の公式の導出

3倍角の公式も加法定理から導くことができます。

例として$\sin$の3倍角の公式を導出してみましょう。

$\sin 3\theta$の形のままでは加法定理を用いることができないので、2倍角のときと同様に$3\theta$という部分を変形することを考えます。

そこで$3\theta =\theta +2\theta$と変形すると、次のようになります。

$$\sin 3\theta =\sin (\theta +2\theta )$$

加法定理$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$に$\alpha =\theta$、$\beta =2\theta$を代入してみると、次のようになります。

$$\begin{array}{rl}\sin 3\theta & =\sin (\theta +2\theta )\\ & =\sin \theta \cos 2\theta +\cos \theta \sin 2\theta \end{array}$$

$\sin 2\theta$、$\cos 2\theta$という部分が出てきたので、2倍角の公式を用います（2倍角の公式も加法定理を用いて導き出すことができることは、先ほどご説明しました）。

2倍角の公式をおさらいしておきます。

この2つを代入して整理すると、次のようになります。

$$\begin{array}{rl}\sin 3\theta & =\sin \theta \cos 2\theta +\cos \theta \sin 2\theta \\ & =\sin \theta (1–2{\sin }^2\theta )+\cos \theta \cdot 2\sin \theta \cos \theta \\ & =\sin \theta (1–2{\sin }^2\theta )+2\sin \theta {\cos }^2\theta \end{array}$$

ここで、$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表すため、三角関数の相互関係${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$を用いましょう。

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$を変形し、${\cos }^2\theta =1–{\sin }^2\theta$を代入して整理します。

$$\begin{array}{rl}\sin 3\theta & =\sin \theta (1–2{\sin }^2\theta )+2\sin \theta (1–{\sin }^2\theta )\\ & =\sin \theta –2{\sin }^3\theta +2\sin \theta –2{\sin }^3\theta \\ & =3\sin \theta –4{\sin }^3\theta \end{array}$$

以上のように、$\sin$の3倍角の公式を三角関数の加法定理を用いて導出することができました。

その他の公式の導出

$\theta +{90}^{\circ }$型や$\theta +{180}^{\circ }$型の公式も、三角関数の加法定理を用いて導くことができます。

ここでは例として$\cos (\theta +{90}^{\circ })$を考えてみましょう。

もはや説明するまでもないかもしれませんが、加法定理$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta –\sin \alpha \sin \beta$に$\alpha =\theta$、$\beta ={90}^{\circ }$を代入するだけです。

$$\begin{array}{rl}\cos (\theta +{90}^{\circ })& =\cos \theta \cos {90}^{\circ }–\sin \theta \sin {90}^{\circ }\\ & =\cos \theta \cdot 0–\sin \theta \cdot 1\\ & =0–\sin \theta \\ & =–\sin \theta \end{array}$$

このように、$\theta +{90}^{\circ }$型の公式や$\theta +{180}^{\circ }$型の公式も、三角関数の加法定理を使って導き出すことができます。

まとめ

今回のまとめです。

大学入試（特に共通テスト）ではスピードも求められます。

スピードアップのため、使う場面の多い公式（2倍角など）は覚えておいてもよいでしょう。

しかし、正確に覚えない限り、公式暗記は失点の原因です。

模試や定期テストで公式を間違えた経験のある人は、今回紹介した方法をぜひ実践してみてください。